High-order well-balanced finite volume methods for hyperbolic systems of balance laws

Résumé

Esta tesis, realizada por compendio de publicaciones, se sitúa en el contexto de la resolución numérica de sistemas hiperbólicos de leyes de equilibrio. Se consideran métodos de volúmenes finitos de alto orden basados en operadores de reconstrucción y en un flujo numérico robusto de primer orden. Dado que estos sistemas presentan soluciones estacionarias no triviales, es importante que el método numérico preserve las soluciones estacionarias, o al menos las de cierta familia relevante: dichos métodos se conocen como bien equilibrados (well-balanced). Los directores de esta tesis presentaron previamente un procedimiento general para obtener métodos numéricos de alto orden bien equilibrados para sistemas de leyes de equilibrio unidimensionales basado en operadores de reconstrucción bien equilibrados, proponiendo una metodología para obtener un operador bien equilibrado a partir de uno que no lo es que requiere encontrar soluciones estacionarias cuyo promedio coincide con un valor dado. Esta estrategia ha sido aplicada con éxito para obtener esquemas bien equilibrados para los que se dispone de una expresión explícita o implícita de dichas soluciones. El objetivo de esta tesis es el desarrollo de métodos numéricos generales de tipo volúmenes finitos explícitos, semi-implícitos e implícitos bien equilibrados, se disponga o no de la expresión de las soluciones estacionarias. En tres de los trabajos que avalan la tesis, la extensión a leyes de equilibrio generales se propone mediante la interpretación del problema de valor promedio a resolver en el proceso de reconstrucción como un problema de control o mediante la aplicación de métodos Runge-Kutta de colocación. Además, se presenta un procedimiento general para tartar los casos resonantes. El último trabajo que avala la tesis se dedica al diseño de esquemas implícitos y semi-implícitos combinando la estrategia desarrollada en los anteriores trabajos con la aplicación de esquemas de tipo RK implícito o IMEX.