Fixed point theorems for weakly contractive type maps and firmly nonexpansive maps (teoremas del punto fijo para aplicaciones de tipo debilmente contractivo y firmemente no expansivas)

Resumen

Para describir fenómenos naturales y sociológicos se usan avanzados modelos matemáticos. En la mayoría de estos aparecen ecuaciones no lineales cuyas soluciones son puntos fijos de una determinada aplicación. Dentro de la rama del Análisis Matemático, existe todo un campo de investigación matemática, llamado Teoría del Punto Fijo, que se centra en encontrar condiciones necesarias y/o suficientes que garanticen la existencia, unicidad y localización (por métodos iterativos), de los puntos fijos de una aplicación. Atendiendo a la naturaleza de las condiciones consideradas, la Teoría del Punto Fijo se divide en dos grandes ramas: Teoría Métrica del Punto Fijo y Teoría Topológica del Punto Fijo. Dentro de la primera se engloban los resultados que se obtienen cuando partimos de la existencia de una métrica en el dominio de definición de la aplicación. Además, las hipótesis de dichos resultados dependen fuertemente de la métrica considerada: el conjunto de aplicaciones que satisfacen unas determinadas hipótesis podrían cambiar para métricas equivalentes. En la Teoría Topológica del Punto Fijo se necesita, de partida, que el dominio sea un espacio topológico, y los resultados obtenidos sigan siendo ciertos si cambiamos la topología en cuestión por otra equivalente. La Teoría Métrica del Punto Fijo tuvo su origen en el Principio de Contracción, que fue demostrado en el contexto de los espacios normados completos por Banach en 1922. Numerosos artículos, libros, publicaciones en congresos y conferencias han tratado sobre este resultado y sus consecuencias. Una gran variedad de extensiones, generalizaciones (más o menos relevantes) y aplicaciones han sido probadas desde entonces. En un teorema métrico de punto fijo suelen aparecer básicamente dos hipótesis: la primera de ellas es relativa al espacio y la otra hipótesis es sobre la aplicación. Los esfuerzos de los investigadores que trabajan en este campo han sido, por un lado, considerar espacios más y más generales, y por otro lado, debilitar tanto como sea posible las condiciones sobre la aplicación. Esta tesis doctoral es una contribución a dichos esfuerzos. La tesis la hemos dividido en cinco capítulos. En el primero introducimos las nociones básicas y varios espacios métricos que serán necesarios durante la discusión de los resultados de punto fijo para aplicaciones del tipo débilmente contractiva y no expansiva. En el capítulo dos, el cual comienza con el Principio de Contracción, discutimos la existencia de varios tipos de aplicaciones contractivas, incluyendo a las aplicaciones Kannan, las aplicaciones Chatterjea, las del tipo Reich-Rus, las aplicaciones de Hardy-Rogers, las aplicaciones Zamfirescu, las quasi-contracciones, las casi contracciones, y las aplicaciones contractivas de Suzuki. Nuestra principal contribución en este capítulo ha sido establecer relaciones entre varios tipos de contractividad, introduciendo dos nuevas condiciones de contractividad: la condición (E y la condición (D). Además, en este capítulo estudiamos la estabilidad de las iteradas de Picard en la aproximación a un punto fijo de las aplicaciones '-quasi no expansivas en el marco de los espacios métricos completos. En el capítulo 3 definimos el concepto de una aplicación compactamente menor que 1, el cual será una herramienta fundamental para el estudio de las aplicaciones débilmente contractivas. En las siguientes secciones de este capítulo introducimos y estudiamos diversos conceptos de condiciones de contractividad de tipo débil, demostrando un teorema de existencia de punto fijo para cada uno de estos tipos de aplicaciones. Además, en algunos casos seremos capaces de obtener un resultado sobre la velocidad de convergencia, el ratio de regularidad asintótica y el módulo de unicidad. El capítulo 4 está dedicado a la Teoría Topológica del Punto Fijo y a mostrar la relación de esta teoría con la Teoría Métrica del Punto Fijo mediante los Métodos de Continuación. Para ello, primeramente demostramos el teorema de punto fijo de Schauder, dando una prueba directa en el contexto de los espacios métricos uniformemente convexos. Además, como consecuencia del teorema de Schauder, deducimos diferentes tipos de punto fijo bajo condiciones frontera. Por otro lado, utilizamos métodos de continuación para ciertas de clases de aplicaciones estudiadas en el anterior capítulo. Finalmente, el capítulo 5 está dedicado a las aplicaciones firmemente no expansivas. Empezamos con su definición en espacios W-hiperbólicos, dando diversos ejemplos entre los que cabe destacar la proyección métrica sobre conjuntos convexos y cerrados, y la aproximante de Moreau-Yosida asociado a un funcional convexos. A continuación probamos un teorema de existencia de punto fijo en subconjuntos no convexos, y de convergencia débil de las iteradas de Picard. En la ultima sección aplicamos los resultados obtenidos para probar un teorema de aproximación del mínimo de una función convexa.