Left braces and the yang-baxter equation

Resumen

La ecuación cuántica de Yang-Baxter (YBE por sus iniciales en inglés) es una ecuación importante en la física matemática introducida por Yang en 1967. Uno de sus principales problemas abiertos es encontrar todas sus soluciones. En 1992, Drinfeld definió un subtipo de soluciones, las conjuntistas, y propuso el problema de encontarlas todas. Recientemente, una subclase de las soluciones conjuntistas ha sido muy estudiada: las involutivas y no degeneradas (a partir de ahora, las llamaremos simplemente soluciones). En 2007, Rump introdujo una nueva estructura algebraica, las brazas a izquierda, para estudiar dichas soluciones, y demostró que cada braza a izquierda tiene una solución de la YBE asociada. Además, cada solución es isomorfa a una solución incluida en la solución asociada a una braza a izquierda en particular. Así, las brazas a izquierda son una herramienta apropiada para estudiar la YBE. En el capítulo 1, estudiamos la estructura de braza a izquierda con la intención de ampliar nuestro conocimiento sobre ellas y entenderlas mejor. En 2010, Cedó, Jespers y del Río definieron los IYB-grupos como los grupos isomorfos al grupo multiplicativo de una braza a izquierda. Por los resultados de Etingof, Schedler y Soloviev, sabemos que todo IYB-grupo es un grupo resoluble. Cedó, Jespers y del Río se preguntaron si el resultado inverso también es cierto, es decir, si todo grupo resoluble es un IYB-grupo. Nuevos resultados mostraron que ciertas subclases de grupos resolubles son en efecto IYB-grupos, pero Bachiller encontró un contraejemplo. Por otro resultado de Cedó, Jespers y del Río, se sabe que todo IYB-grupo se puede factorizar como producto de dos IYB-grupos. Esto motiva otra pregunta: ¿bajo qué condiciones un grupo factorizado como producto de dos IYB-grupos, uno de ellos siendo normal, es un IYB-grupo? El el capítulo 2, estudiamos los IYB-grupos y mostramos un nuevo teorema en la dirección de la última pregunta que mejora los resultados de Cedó, Jespers y del Río, y de Eisele. También obtenemos nuevas familias de IYB-grupos y construimos una familia concreta de IYB-grupos que no podía aparecer como consecuencia de ninguno de los resultados conocidos previamente. Los resultados originales de este capítulo están publicados en «Proceedings of the American Mathematical Society». Además, Etingof, Schedler y Soloviev introdujeron los grupos de estructura y de permutaciones, dos grupos fundamentales asociados a una solución de la YBE dada. Cedó, Jespers y Okninski probaron que ambos grupos tienen una estructura natural de braza a izquierda. En el capítulo 3, describimos dicha estructura desde una nueva perspectiva: utilizando el grafo de Cayley. En primer lugar, definimos una adición sobre el grupo de permutaciones de manera que se convierta en una braza a izquierda. Esta adición nos permite obtener el grafo de Cayley del grupo aditivo del grupo de permutaciones a partir del grafo de Cayley de su grupo multiplicativo simplemente modificando las etiquetas de los arcos. En segundo lugar, usamos el grafo de Cayley del grupo aditivo del grupo de permutaciones para construir una braza a izquierda cuyo grupo multiplicativo es isomorfo al grupo de estructura. Finalmente, exponemos una interpretación geométrica y algunas aplicaciones. Los resultados originales de este capítulo están publicados en «Mediterranean Journal of Mathematics».