Desenvolupament de nous mètodes per a la resolució d'equacions i sistemes d'equacions no lineals i aplicacions

Resumen

La necessitat de resoldre equacions i sistemes d'equacions no lineals sorgeix de manera natural en discretitzar les equacions integrodiferencials que modelen els problemes dels quals s'encarreguen les diferents branques de les ciències i l'enginyeria. Actualment, es pot fer ús dels ordinadors com a eines per facilitar totes les tasques entorn a la seua resolució. Amb la millora dels dispositius, el desenvolupament de les tècniques de computació i l'aritmètica de precisió variable, s'ha generalitzat la demanda de mètodes iteratius que resolguen de forma ràpida i eficient les equacions i sistemes d'equacions. L'Anàlisi Numèrica és la branca de les matemàtiques que respon a aquestos requeriments. En aquest treball tractarem alguns aspectes d'interés d'aquesta àrea. En concret, mostrarem una aproximació de la derivada que ens permeta modificar un resultat per obtenir mètodes d'ordre p+2 a partir d'altres d'ordre p, de manera que es mantinguen les propietats de convergència i estudiarem la millora de l'eficiència d'aquesta tècnica, degut al menor nombre d'avaluacions funcionals, aplicada a mètodes de diferent ordre. Un altre resultat s'ha assolit generalitzant el mètode de Sharma, i construint així famílies de mètodes d'ordre 4 òptims i d'ordre 6; amb l'estudi del nombre d'operacions obtindrem els dos mètodes més eficients de la família dels quals estudiarem la seua dinàmica. Una altra línia d'investigació consisteix en l'estudi de les diverses estratègies per aproximar el càlcul de les jacobianes, així els operadors de diferències dividides han contribuït a aquests objectius. Nosaltres hem desenvolupat un operador de diferències dividides que, tot i ser més senzill que d'altres ja coneguts, manté les propietats de convergència dels mètodes amb derivades . Posteriorment hem adaptat les famílies de mètodes d'ordre 4 i 6 per a equacions amb arrels múltiples obtenint també mètodes lliures de derivades aplicant l'operador en diferències dividides anteriors. A continuació hem considerat hem realitzat l'estudi del comportament dinàmic de certs mètodes aplicats sobre el problema dels N cossos. Finalment hem obtingut certs resultats referents a la convergència semilocal. Els resultats teòrics s'han contrastat amb diverses experiències numèriques.