Purely quasilinear elliptic problems with singularities

Resumen

La tesis doctoral se enmarca en el campo de las Ecuaciones en Derivadas Parciales No Lineales. Concretamente, se centra en estudiar la existencia de solución de problemas de contorno elípticos no lineales de tipo Dirichlet, así como en determinar propiedades cualitativas de las soluciones como su unicidad, multiplicidad, regularidad, etc. Las características fundamentales de los términos no lineales que componen las ecuaciones que se consideran son, por un lado, el crecimiento a lo sumo cuadrático con respecto al gradiente de las soluciones (o, más comúnmente, crecimiento natural) y, por otro lado, la presencia de singularidades cuando las propias soluciones se anulan. Ecuaciones con términos no lineales de este tipo se han venido estudiando desde finales del siglo XX mediante métodos del Análisis No Lineal, generalmente de tipo topológico, mientras que los métodos variacionales se han empleado en menor medida. Precisamente, una de las principales dificultades que presentan estos problemas es una falta de estructura variacional, por lo que las herramientas disponibles para las pruebas se reducen. No obstante, en algunos casos la ecuación admite un cierto cambio de variable que simplifica el problema considerablemente puesto que la ecuación resultante con la nueva variable no depende del gradiente. Esta transformación se ha empleado de manera recurrente en la literatura, aunque es aplicable solo en los casos particulares en los que el cambio de variable elimina el término de gradiente de la ecuación. La principal aportación de esta tesis doctoral consiste en el desarrollo de métodos que permiten abordar ecuaciones singulares con crecimiento natural en el gradiente que no admiten la comentada simplificación mediante cambios de variable. Esta es la situación más habitual, basta que el crecimiento con respecto al gradiente sea estrictamente subcuadrático o, incluso si el crecimiento es cuadrático, que el término de gradiente tenga un coeficiente multiplicativo no constante. Empleando tales métodos, ha sido posible demostrar resultados óptimos de existencia de solución, así como resultados de unicidad y multiplicidad de solución, se ha estudiado también el comportamiento asintótico de las soluciones con respecto a parámetros de la ecuación, etc. En definitiva, los resultados de la tesis han contribuido un mejor entendimiento de los problemas con crecimiento natural en el gradiente y singularidades.