La dimensión fractal en el mercado de capitales

Resumen

EL desarrollo de la Geometría Fractal ha sido uno de los hitos dentro del campo de las Matemáticas, pues ha hecho posible describir formas naturales complejas en términos de reglas simples entre, otras cosas porque la forma de ver la realidad de la Geometría Fractal es muy diferente a la de la de la Geometría Euclídea, ya que mientas ésta intenta adecuar la realidad a un orden que emana de la razón, la Geometría Fractal asume que las estructuras naturales son desordenadas y busca describirlas. El objetivo general de este trabajo es analizar el papel que la Geometría Fractal puede jugar a la hora de caracterizar la serie de cierres diarios del índice Ibex35 durante la década de los noventa (desde el día 2-01-1991 hasta el día 29-12-2000), a la que, por brevedad, nos referiremos como Ibex35. Si somos algo más concretos, podemos decir que en realidad lo que pretendemos caracterizar es el grafo de este índice frente al tiempo (registro temporal del índice), pues presenta muchas de las características propias de los conjuntos fractales, que son los objetos que estudia la Geometría Fractal. Esta última frase puede parecer redundante, pero se debe al hecho de que no existe una definición precisa ni de la Geometría Fractal ni de lo que es un conjunto fractal. En palabras de Benoît B. Mandelbrot (1924-), al que se considera como el padre de la Geometría Fractal: …la definición informal: la Geometría Fractal es el estudio de la irregularidad que permanece tras un cambio de escala y localización, quizás sea la mejor caracterización de la Geometría Fractal que podemos conseguir. Una definición formal ni existe ni se debe esperar su desarrollo… (Mandelbrot [53] página 9). De hecho, aunque ha habido varios intentos de dar una definición matemática de un fractal, no hay una definición satisfactoria en un contexto genérico, ya que todas excluyen algún conjunto con características que puede estudiar la Geometría Fractal. Esto, que podría parecer un inconveniente, es, desde nuestro punto de vista, una ventaja, ya que no hay que preocuparse de si un conjunto es o no un fractal, sino de si la Geometría Fractal puede analizar las características que nos interesan del conjunto. En concreto, la anterior definición informal de la Geometría Fractal hace que el grafo de una serie de precios, y en particular el grafo de la serie Ibex35, se encuentre dentro de su campo de acción, ya que en estos grafos aparecen numerosas irregularidades que mantienen al observarlos a escalas cada vez menores. Precisamente al intentar cuantificar este tipo de irregularidades es cuando surge la noción de dimensión fractal, que es el concepto que da título a este trabajo, y en el cual, de nuevo, nos encontramos con el término fractal como adjetivo, alguno de cuyos múltiples significados aparecen en unas palabras de Mandelbrot donde cuenta como acuñó este término: Acuñé el término fractal a partir del adjetivo latino fractus. El verbo correspondiente esfrangere que significa “romper en pedazos”. Es pues razonable, …, que además de “fragmentado” (como en fracción) signifique también “irregular”, confluyendo ambos en el término fragmento (Mandelbrot [51] página 19). Esto hace que al utilizar el término fractal como calificativo de la dimensión estemos indicando, tanto que la dimensión puede tomar valores no enteros, como que la dimensión va a ser una medida de las irregularidades del conjunto. Las distintas definiciones de dimensión fractal aparecen dependiendo de la forma en que abordemos el estudio de estas irregularidades y, en el caso particular del grafo de una función, debido a que las variaciones que experimentan los valores de la función ente puntos próximos están relacionadas con el valor de su dimensión, cuanto mayor sea el valor de la dimensión, más errático será el comportamiento de su grafo. Desde el punto de vista teórico, quizás las más importante sea la dimensión de Hausdorff, que recibe este nombre por Félix Hausdorff (1868-1942) y que aparece al adaptar a conjuntos irregulares la medida n-dimensional de Lebesgue, que, a su vez, recibe este nombre por Henri León Lebesgue (1875-1941). Desde el punto de vista práctico, la dimensión más adecuada para los cálculos empíricos es la dimensión de recuento por cajas, denominándose así esta dimensión por la forma en que se calcula. Otro de los objetivos de este trabajo aparece al calcular empíricamente el valor de esta dimensión en un grafo, ya que para obtenerlo proponemos una estimación que sólo se utiliza en los cálculos teóricos y pretendemos ver que también es adecuada para los cálculos empíricos. La aparición de patrones de comportamiento que se mantienen constantes al analizar un conjunto a distintas escalas, es una característica de los objetos que estudia la Geometría Fractal que pone de manifiesto que, aunque parezca que tenemos un conjunto extremadamente complejo e irregular, su apariencia se debe a la repetición de reglas simples a lo largo de estas escalas. Como no existe una definición que englobe a todos los conjuntos fractales, esta característica hace que usemos como definición práctica que un fractal es un conjunto cuyas partes están relacionadas con el todo: Informalmente, los fractales son formas irregulares, …, donde cada pequeña parte es muy parecida a una imagen de tamaño reducido del todo (Mandelbrot [53] página 9). En este sentido, en un conjunto fractal podemos distinguir dos tipos de relaciones entre el conjunto y las partes en que se descompone: la autosemejanza, donde para que se parezcan sus representaciones a distintas escalas el factor de escala disminuye igual en todas las direcciones, y la más general de autoafinidad, en la cual este factor puede ser distinto en cada una de las direcciones. Estas relaciones hacen que sea necesario distinguir entre dos tipos de conjuntos fractales: los fractales determinísticos, donde cada una de las partes es igual al todo tras un cambio de escala y localización: autoafinidad determinística: y los fractales aleatorios, donde la igualdad entre las partes y el todo se da entre las distribuciones estadísticas tras el correspondiente cambio de escala y localización: autoafinidad estadística. En el caso particular de los grafos de funciones, la autoafinidad tiene dos formas distintas de manifestarse: la que acabamos de comentar, autoafinidad global, donde cada una de las partes es igual al todo tras un cambio de escala y localización, y una segunda, autoafinidad local que aparece en determinados casos y se manifiesta en la existencia de relaciones entre los grafos que se obtienen cuando representamos la función en intervalos de longitud cada vez menor. Esta última manifestación de la proporcionalidad entre las partes, traducida en la existencia de autoafinidad estad´sitica, es el denominador común de los grafos de los modelos que vamos a considerar para describir las características fractales de la serie Ibex35 y la que nos va a permitir utilizar las técnicas propias de la Geometría Fractal, para estudiar el papel que la dimensión puede jugar a la hora de describir su comportamiento. A este respecto, los modelos que vamos a considerar son generalizaciones de uno de los primeros modelos utilizados para describir la evolución de los precios de una acción como un proceso a lo largo del tiempo gobernado por las leyes de la probabilidad (proceso estocástico): el movimiento browniano, que recibe este nombre por R. Brown, que en 1828 observó este movimiento en pequeñas partículas suspendidas en fluido, o de proceso de Wiener, por N. Wiener, que dio una definición sistemática del mismo en 1923. Este proceso está caracterizado fundamentalmente por dos de las propiedades de sus incrementos, la independencia y la normalidad de su distribución, y a la hora de describir la evolución de los precios de una acción, aunque aparece por primera vez en 1900 en la Tesis de Louis Bachelier (1870-1946)Théorie de la Speculation ([2]), no cobra importancia hasta que en 1965 el premio nobel de Economía Paul A. Samuelson (1915-) propone enRational Theory of Warrant Pricing ([67]) el movimiento browniano geométrico o económico, donde los que siguen un movimiento browniano, con tendencia, no son los precios sino sus logaritmos. Aunque desde entonces es uno de los modelos más utilizados para describir el precio de una acción, se observa que, como sucede en la serie Ibex35, los daros empíricos no se ajustan del todo bien a este modelo, ya que los incrementos de los precios de la mayoría de las acciones presentan cierta dependencia y su distribución empírica difiere a la distribución normal, tanto en la parte central como en las colas. Las generalizaciones del movimiento browniano que vamos a considerar para describir las características fractales de la serie Ibex35 son dos modelos que fueron desarrollados por Mandelbrot en los años sesenta: los movimiento brownianos fraccionarios, que sólo tienen incrementos independientes en el modelo original y los procesos estables, cuyos incrementos son una generalización de la normal, que, al igual que el proceso, reciben el nombre de distribuciones estables. Antes de ver las características fractales que tienen en común estos modelos con la serie Ibex35, vamos a crear el marco teórico que nos permiten analizar esta serie de la perspectiva de la Geometría Fractal.