Desigualdades geométricas relativas a la subdivisión de un conjunto convexo en dos partes de igual volumen (área)

Resumen

Se estudian aquellos problemas en los que se busca una solución óptima al problema de dividir un conjunto convexo y compacto en dos subconjuntos de igual volumen (área) de modo que se optimicen algunas características geométricas delos subconjuntos dados, Hay numerosos resultados (Eggleston, Bokowski, Cianchi, ...) si se busca minimizar el perímetro de la "cerca" que divide el conjunto dado (llamado también el perímetro relativo), y también varios problemas abiertos sobre cotas que den la mejor estimación global, alguno de ellos planteado por Santaló. En concreto se han determinado los conjuntos extremales y se ha buscado obtener cotas globales sobre la mejor subdivisión posible. Se han considerado tanto la subdivisión más simple por rectas (en el caso plano) o hiperplanos como la subdivisión más general por curvas (en el caso plano). Se han considerado también el estudio con otras magnitudes geométricas: en el caso plano se han estudiado además propiedades geométricas que relacionen las magnitudes clásicas con la longitud de la máxima y mínima cuerda que divide el conjunto dado en dos regiones de igual área. En el plan de trabajo se ha trabajado con conjuntos planos y con subdivisiones por rectas, buscando primero obtener la mejor subdivisión para ejemplos particulares de conjuntos, luego para conjuntos centralmente simétricos y finalmente para conjuntos convexos generales: se han estudiado en ese caso las propiedades goemétricas de los conjuntos obtenidos y su posible unicidad; después se han buscado las mejores cotas globales.