Métodos espectrales de hermite y leyes de conservación

Resumen

La tesis que se presenta analiza métodos espectrales basados en funciones de Hermite aplicados a ecuaciones hiperbólicas escalares en una dimensión espacial, tanto lineales como no lineales, planteadas en toda la recta real, La idea de un método espectral es aproximar la solución exacta del problema dado mediante una combinación lineal de las funciones de base, que en este trabajo son las funciones de Hermite. El modo de calcular los coeficientes varía según el método espectral considerado. Aquí se estudian métodos de Galerkin y métodos de colocación pseudoespectrales. En el caso de ecuaciones lineales, demostramos la convergencia de ambos métodos en un espacio L2 con un peso adecuado del que las funciones de Hermite forman una base ortogonal, con ayuda del teorema de equivalencia de Lax-Richmyer. Cuando se trata de ecuaciones no lineales, debido a que las soluciones desarrollan discontinuidades, debemos introducir cierta cantidad de viscosidad para estabilizar el método numérico. Probamos la convergencia de los métodos de viscosidad espectral hacia la única solución de entropía, en espacios Lp omega para cualquier P mayor I y cualquier omega subconjunto abierto y acotado de IR x (O,T). Para ello, utilizamos resultados de la teoría de compacidad por compensación y medidas de Young. La posible falta de regularidad de las soluciones de ecuaciones hiperbólicas reduce la rapidez de convergencia de las aproximaciones espectrales. Por ello, hemos construido también un filtrado que aumenta el orden de convergencia. Finalmente, hemos realizado experimentos numéricos que corroboran los resultados teóricos demostrados.