Ultraviolet divergences in Higher-Dimensional Field Theories

Resumen

El origen de la simetr¿¿as gauge es uno de los mayores misterios de la f¿¿sica de part¿¿culas. La idea de Theodor Kaluza, desarrollada por Oskar Klein en los a¿nos veinte (v¿ease por ejemplo [1] y las referencias en el mismo) de que las simetr¿¿as espaciotemporales en dimensiones superiores implican simetr¿¿as gauge cuadridimensionales a bajas energ¿¿as, siempre que las dimensiones extra est¿en compacti¿cadas apropiadamente, se ha revelado como muy interesante y fruct¿¿fera. En su versi¿on m¿as sencilla, la acci¿on gravitatoria de Einstein¿Hilbert de¿nida en una variedad de cinco dimensiones producto de Minkowski cuadridimensional con un c¿¿rculo de radio R se ve a energ¿¿as E ¿ M ¿ 1 R como una teor¿¿a de Einstein¿Hilbert cuadridimensional acoplada a un campo de Maxwell. Con el descubrimiento a principios de los ochenta de que una teor¿¿a de cuerdas consistente incluye necesariamente dimensiones extra la idea de un espaciotiempo con m¿as de cuatro dimensiones recibi¿o un nuevo impulso. Paralelamente a desarrollos en teor¿¿as fundamentales, estudios en una l¿¿nea m¿as fenomenol¿ogica han llevado recientemente a un nuevo entendimiento acerca de c¿omo las dimensiones extra se mani¿estan y de qu¿e manera pueden ayudar a solucionar problemas de la f¿¿sica de part¿¿culas, como el problema de las jerarqu¿¿as o el de la constante cosmol¿ogica. Estos estudios fenomenol¿ogicos se basan usualmente en modelos considerados como teor¿¿as efectivas de campos a bajas energ¿¿as. Una cuesti¿on importante en modelos en dimensiones superiores es el mecanismo por el cual las dimensiones extra est¿an escondidas, en el sentido de que el espaciotiempo que experimentamos es cuadridimensional. Tradicionalmente, se supone que estas dimensiones son compactas con un tama¿no caracter¿¿stico extremadamente peque¿no, de manera que se necesitar¿¿an energ¿¿as inalcanzables en los aceleradores actuales para detectarlas directamente. El hecho de que las dimensiones extra sean compactas permite expandir los campos que se propagan en el espaciotiempo completo en arm¿onicos e integrar las coordenadas extra. De ese modo, se encuentra una teor¿¿a en cuatro dimensiones pero con un n¿umero in¿nito de campos que corresponden a los modos de la expansi¿on: son los llamados modos de Kaluza¿Klein. Existen entonces dos puntos de vista complementarios, el de la teor¿¿a en dimensiones superiores y el cuadridimensional con la torre de Kaluza¿Klein; y si se quieren hacer a¿rmaciones expl¿¿citas sobre cuando la torre empieza a ser relevante en un tratamiento efectivo, se tienen que relacionar no solo las partes cl¿asicas sino tambi¿en las contribuciones cu¿anticas en ambos lados. Desafortunadamente, como es bien sabido las correcciones cu¿anticas con frecuencia producen valores divergentes para cantidades que en principio deber¿¿an poder medirse, haciendo necesario el proceso de renormalizaci¿on. Para ser m¿as precisos, si consideramos que la dimensiones extra son reales, es necesario renormalizar la teor¿¿a. Incluso si no se embebe el modelo extra dimensional en un marco consistente como supercuerdas (que de todas maneras proporcionar¿¿a un cuto¿) a orden un loop este hecho no es directamente relevante en el sentido de que a¿un se pueden estudiar y clasi¿car todas las divergencias. Por ejemplo, la carga el¿ectrica en seis dimensiones tiene dimensi¿on de masa negativa, lo que permite un n¿umero no acotado de contrat¿erminos. En cualquier caso, a un orden dado en teor¿¿a de perturbaciones este n¿umero es ¿nito y la teor¿¿a puede ser renormalizada, aunque es cierto que siempre aparecer¿an nuevos operadores en los contrat¿erminos que no estaban presentes en el Lagrangiano original. Lo que se tiene entonces es esencialmente una aproximaci¿on de bajas energ¿¿as, que solo se espera que sea correcta (en el ejemplo de la Electrodin¿amica Cu¿antica en seis dimensiones en el que nos vamos a ¿jar) cuando la constante de estructura ¿na veri¿ca ¿d=6E 2 ¿ 1. Dado que las constantes de acoplo en cuatro y seis dimensiones est¿an relacionadas por ¿d=6M2 ¿ ¿d=4 ¿ 1 137 , en t¿erminos de la constante de estructura ¿na usual esto se traduce en E ¿ ¿M ¿ ~ 10M. Se obtiene entonces que los c¿alculos son ¿ables para energ¿¿as E ~ M, pero no mucho mayores. Nuestro punto de vista ser¿a entonces que la teor¿¿a se de¿ne en dimensiones superiores mediante los contrat¿erminos necesarios en un sentido que trataremos de precisar en lo que sigue. De todas maneras y con el ¿n de disipar cualquier duda, repetiremos el mismo an¿alisis para la Electrodin¿amica en cuatro dimensiones compacti¿cada en un toro bidimensional. En este caso la teor¿¿a en dimensiones extra est¿a perfectamente de¿nida (obviando el polo de Landau) y nuestros resultados son esencialmente los mismos. Aparte del punto de vista en seis dimensiones que vamos a favorecer, siempre existe la posibilidad de calcular directamente en cuatro una vez que se ha hecho la expansi¿on en modos y las integrales sobre las dimensiones compactas. Parece natural pensar que siempre que se tengan en cuenta los in¿nitos modos, esta teor¿¿a cuadridimensional deber¿¿a ser perfectamente equivalente a la teor¿¿a en el espaci- otiempo completo. En particular sus divergencias deber¿¿an coincidir. El objetivo principal de esta Tesis ser¿a comprobar esta intuici¿on con algunos c¿alculos concretos. Aunque no es la meta de este trabajo, nuestros resultados deber¿¿an poder expresarse en el lenguaje de teor¿¿as efectivas de bajas energ¿¿as. Algunos pasos en esta direcci¿on han sido dados en [2, 3]. Curiosamente, en el caso de campos libres interaccionando a trav¿es del acoplo universal a un campo gravitatorio externo, los dos puntos de vista, bajo algunos supuestos, son exactamente equivalentes. Esto fue demostrado por Du¿ y Toms [4] y motiv¿o en gran medida nuestra investigaci¿on. La Tesis est¿a organizada como sigue: El Cap¿¿tulo 1 es una breve historia de las teor¿¿as en dimensiones superiores a cuatro en f¿¿sica de altas energ¿¿as, comenzando en 1914 y culminando a ¿nales de siglo cuando se convirtieron en un paradigma extremadamente popular. La organizaci¿on del Cap¿¿tulo se basa en la que siguen habitualmente los estudios al respecto, particularmente [1, 5, 6]. El aspecto fenomenol¿ogico se enfatiza en mayor medida en [7¿13]. El Cap¿¿tulo 2 incluye algunas nociones b¿asicas as¿¿ como ecuaciones del heat kernel. Ser¿an utilizadas frecuentemente a lo largo de la Tesis. Adicionalmente se comprueba la validez de las expresiones con el conocido ejemplo de la Electrodin¿amica Cu¿antica en cuatro dimensiones. El Cap¿¿tulo 3 es un repaso al resultado, debido a Du¿ y Toms [4], de que en el caso de un escalar libre en espaciotiempo curvo si uno es su¿cientemente cuidadoso puede hacer que las divergencias calculadas en la variedad completa y en la reducida con la torre in¿nita coincidan. Se han tratado de enfatizar los puntos principales de la argumentaci¿on para comparar con situaciones m¿as complicadas. El Cap¿¿tulo 4 contiene los principales c¿alculos de la Tesis. Con el ¿n de ejempli¿car el caso de una teor¿¿a con interacciones, se toma la Electrodin¿amica Cu¿antica compacti¿cada en un toro bidimensional. Se calculan las divergencias a un loop para ambas formas de de¿nir la teor¿¿a y se mencionan las causas de la discrepancia. Este Cap¿¿tulo se basa en [14]. El Cap¿¿tulo 5 explora posibles consecuencias de los resultados anteriores, en particular las implicaciones para las masas de los modos de Kaluza¿Klein. Se ilustran e interpretan varias maneras de hacer los c¿alculos desde ambos puntos de vista. Este Cap¿¿tulo est¿a basado en [15]. El Cap¿¿tulo 6 ¿nalmente establece las conclusiones y apunta posibles direcciones en las que continuar.