Four-dimensional representation of scattering amplitudes and physical observables through the application of the loop-tree duality theorem

Resumo

Las últimas dos décadas han sido testigo de un tremendo progreso en la física teórica de alta precisión. Muchos avances han sido hechos, en particular, en la evaluación de diagramas multi-loop, pero el principal desafío yace en el tratamiento de las divergencias IR a través de eficientes esquemas de substracción. Con la complejidad del procedimiento incrementándose exponencialmente con el número de escalas, se ha hecho necesario tratar la cuestión desde un ángulo diferente, invocando así al desarrollo de nuevas técnicas. La Dualidad Lazo-Árbol (LTD, por sus siglas en inglés) provee de un nuevo marco para el cómputo de amplitudes con loops. A través de la modificación de la prescripción estándar +i0 de los propagadores de Feynman, la LTD establece relaciones duales entre lazos e integrales de espacio de fases. Esto reduce el dominio de integración del lazo a un espacio Euclídeo, en donde la integración se lleva a cabo de hiperboloides o conos de luz en los cuales se verifica la condición de capa de masa. Luego de regularizar apropiadamente las divergencias IR y UV, esto permite una evaluación numérica directa de las amplitudes. La vasta mayoría del trabajo desarrollado en esta tesis se base en este formalismo. En particular, la No-Sustracción en Cuatro-Dimensiones (FDU, por sus siglas en inglés) está íntimamente relacionado con la LTD, y toma ventaja de las muy interesantes características de dicho formalismo. En primer lugar, mostramos que dentro del formalismo LTD, las singularidades IR de las contribuciones reales y virtuales están restringidas a una región compacta del espacio de momentos. Nosotros explotamos este hecho crucial para construir un mapeo entre la cinemática real y la virtual, con el objetivo de remover localmente cualquier singularidad IR de la suma de ambas contribuciones. Para ilustrar el método, comenzamos calculando las correcciones NLO a un proceso 1 a 2 en un modelo escalar de juguete con partículas sin masa. Luego de separar el espacio de fases real en dos regiones, procedemos a combinar diferentes partes de las contribuciones reales y virtuales, y mostramos que ninguna de las cantidades obtenidas exhibe divergencias IR. Paralelamente, explicamos cómo cancelar las singularidades UV de las contribuciones virtuales de una forma local, usando la función escalar de dos puntos como ejemplo de partida. Aplicando una expansión del integrando alrededor del propagador UV, construimos un contratérmino que reproduce exactamente el comportamiento singular del integrando original en la región de altas energías, haciendo que la diferencia entre ambos carezca de divergencias UV. Luego, aplicamos las técnicas antes mencionadas para calcular las correcciones NLO de QCD al decaimiento de un fotón virtual en un par de quarks sin masa, y obtenemos una representación puramente cuatro-dimensional de las amplitudes a nivel integrando. También comentamos brevemente acerca de la generalización al caso de más loops y partículas externas. Lógicamente, el próximo paso consiste en extender el algoritmo FDU al caso de partículas masivas. Los mencionados mapeos de la cinemática real-virtual son extendidos al caso masivo (y para un número arbitrario de partículas externas), y nos aseguramos de que las configuraciones casi-colineales estuvieran consideradas de forma apropiada, con el fin de poder lograr una transición suave al límite no masivo. Comenzamos calculando las correcciones NLO al decaimiento de partículas en un modelo de juguete escalar con masas, antes de aplicar la técnica para el decaimiento de bosones escalares y vectoriales en dos quarks masivos. Para poder tener en cuenta adecuadamente el comportamiento singular UV completo, tuvimos que construir una representación a nivel integrando de los factores de renormalización de la función de onda y de la masa. Los integrandos cuatro-dimensionales que obtuvimos fueron evaluados numéricamente, reproduciendo con buena precisión los resultados estándar en Regularización Dimensional (DREG, por sus siglas en inglés). Si se extendiera exitosamente a NNLO, el formalismo FDU podría representar una muy buena alternativa frente a la mayoría de los métodos tradicionales. Otras ventajas del formalismo LTD se presentan también en esta tesis. Mostramos que para las amplitudes de scattering del bosón de Higgs decayendo en dos bosones de gauge sin masa a un lazo, la forma funcional del integrando puede ser expresada de una forma universal cuando un quark top, un escalar cargado o un bosón W circulan internamente. Más aún, luego de tratar adecuadamente las singularidades locales UV (escondidas), llevamos a cabo una expansión asintótica de forma directa para la amplitud sin integrar, sin necesidad de separar el dominio de integración en distintas regiones. Si se aplicara a otros procesos más complicados, esto podría abrir nuevas oportunidades para una implementación más eficiente de los cálculos a órdenes perturbativos superiores. Esta línea de investigación está siendo actualmente desarrollada. Finalmente, hemos presentado la primera aplicación de la LTD a dos loops, en el caso del decaimiento de un bosón de Higgs en dos fotones. Mostramos que, remarcablemente, la mencionada universalidad del integrando aún se preserva a éste orden. Sería interesante investigar si esta propiedad sigue siendo válida más allá de los dos loops, y –si este fuera el caso- cómo aprovecharla para facilitar el cálculo de procesos que comparten las mismas topologías y conjuntos de diagramas. Además de esto, nosotros proponemos una técnica para calcular contratérminos locales UV a dos loops, en cualquier esquema de renormalización. Este procedimiento sería el primer ingrediente necesario en la extensión de la FDU más allá de NLO. En particular, el mismo ha sido aplicado al proceso considerado, en donde se encontró un acuerdo perfecto entre nuestra implementación numéricas y los resultados disponibles en la literatura.