Sistemas de Posicionamiento RelativistaSimulaciones Numéricas

Resumen

Con los sistemas de posicionamiento clásico (SPC), podemos hallar la posición de usuarios situados en la superficie de la Tierra o cerca de ella. Esto se puede conseguir con cierta información proveniente de satélites pertenecientes a sistemas de navegación global como GPS y GALILEO. En los SPC, se utiliza el formalismo Newtoniano y se hacen correcciones post-Newtonianas relativistas cuando son necesarias. Esta tesis contribuye al desarrollo de un enfoque distinto del posicionamiento, que pretende ser totalmente relativista desde el principio. En los sistemas de posicionamiento relativista (SPR), la posición espacio-temporal de cualquier usuario (barco, nave espacial, etc.) puede determinarse con la ayuda de cuatro satélites, que envían al espacio los tiempos propios de sus relojes mediante señales electromagnéticas codificadas. En la tesis hemos simulado 4-tuplas de satélites de las constelaciones GPS y GALILEO. Si un usuario recibe las señales de los cuatro satélites a la vez, los tiempos propios que obtiene -después de la descodificación- son sus “coordenadas de emisión”. Si el usuario quiere saber sus “coordenadas de posicionamiento”, en un sistema de referencia casi inercial apropiado, tiene dos posibilidades: (a) hallar la relación explícita –analítica- entre estas coordenadas y las de emisión (enviadas por los satélites), o (b) diseñar códigos numéricos que permitan calcular las coordenadas de posicionamiento a partir de las de emisión. El método (a) sólo es viable en casos ideales sencillos, mientras que el (b) permite considerar situaciones realistas. En esta tesis hemos diseñado códigos numéricos aplicables al estudio de dos SPR apropiados y generalizables. A veces, hay dos usuarios reales situados en posiciones diferentes, que reciben los mismos tiempos propios desde los mismos satélites; se dice entonces que hay bifurcación, y hacen falta datos adicionales para elegir la verdadera posición del usuario. Hemos estudiado la bifurcación detalladamente. Hemos analizado a fondo dos modelos de SPR; en ambos, se considera que los satélites se mueven en el espacio-tiempo (ET) de Schwarzschild correspondiente a una Tierra ideal estática y con simetría esférica. Como este ET es asintóticamente Minkowskiano, al admitir la métrica de Schwarzschild tenemos definido un sistema de referencia con origen en la Tierra, que es inercial desde el punto de vista teórico y casi inercial -ya que estamos despreciando la aceleración debida al Sol y otros pequeños efectos- desde el punto de vista físico. En uno de los modelos, el SPR de orden cero, los fotones se mueven en el ET de Minkowski asintótico a Schwarzschild, mientras que en el segundo modelo (SPR de orden uno), los fotones se mueven –como los satélites- en el propio ET de Schwarzschild. El uso de los SPR permite una estimación de errores más sistemática que en el caso de los SPC. En el esquema que presentamos en esta tesis, hay dos tipos de errores de posicionamiento. Los U-errores son debidos a desviaciones de las líneas de universo reales de los satélites con respecto a las líneas nominales, que hemos definido adecuadamente, mientras que los S-errores son debidos al uso de métricas aproximadas que sólo permiten calcular las geodésicas nulas de los fotones con precisión limitada. Para cada usuario, el error total es la suma del U y el S-error. Hemos hallado, representado y estudiado las distribuciones de los puntos de bifurcación, los U-errores y los S-errores dentro de una amplia región esférica situada alrededor de la Tierra, centrada en uno de sus puntos y con un radio de 100.000 km; así, hemos discutido -por primera vez- la posibilidad de localizar naves espaciales en esta zona usando 4-tuplas GPS y GALILEO. Con nuestro estudio de los S-errores hemos verificado que, en aplicaciones estándar, el SPR de orden uno es suficientemente preciso para tratar el movimiento de los fotones; mientras que SPR de orden superior, que incluyan los efectos del sol, la luna, los multipolos de la Tierra, etc., pueden ser necesarios para elegir las líneas de universo nominales de los satélites de modo que el crecimiento de los U-errores con el tiempo se haga mínimo. Se discute el modo de implementar estos SPR de orden superior, utilizando códigos similares a los construidos para trabajar con el SPR de orden uno, pero considerando métricas y funciones de transferencia de tiempo más realistas, que tendrían expresiones analíticas más complejas, pero que serían numéricamente manejables. Hemos verificado que tanto los S-errores como los U-errores divergen en ciertos puntos (usuarios), desde los cuales, los cuatro satélites se ven sobre la misma circunferencia en la esfera celeste del usuario. En estos puntos, el Jacobiano, J, de la transformación que expresa las coordenadas de emisión en función de las inerciales se anula. Cerca de ellos, los U y S-errores son muy grandes. Hemos verificado –mediante simulaciones- que todos estos puntos están a alturas superiores a unos 20.000 km; lo que implica que una nave espacial, que se mueva a tales alturas, podría acercase a alguno de estos puntos y ya no podría hallar su verdadera posición –con la 4-tupla elegida- hasta que se aleje de él. En el caso de 4-tuplas GPS y GALILEO, con velocidades mucho más pequeñas que la de la luz, hemos calculado J (uno de los hallazgos más interesantes de la tesis), que sólo depende de los cuatro vectores unitarios usuario-satélites; por tanto, si el usuario está en una nave espacial que dispone de aparatos para medir ángulos, puede obtener las direcciones de los citados vectores y, por tanto, puede hallar el valor de J. Si J es demasiado pequeño, los errores serán muy grandes, y el posicionamiento inadmisible. En tal caso, el usuario debe considerar otra 4-tupla de satélites para la que J no tome un valor demasiado pequeño. De este modo, eligiendo una 4-tupla adecuada en cada momento, la posición de la nave puede ser hallada para distancias a la Tierra superiores a 20.000 km. Suponiendo que la amplitud en las incertidumbres de las líneas de universo de los satélites es de 10m, hemos estimado que los errores de posicionamiento serían de unos 100 m para alturas de unos 100.000 km.