Estudio de foliaciones en relatividad

Resumen

En esta tesis se ha introducido un nuevo formalismo para trabajar con distribuciones en general, se han estudiado sus propiedades y se ha analizado su aplicabilidad a diferentes aspectos físicos. En concreto, los resultados más destacables son los siguientes: A partir del concepto de base asociada a un observador, se han obtenido de forma natural expresiones para el efecto Doppler y la aberración de la luz en Relatividad General. Se han definido y estudiado nuevos conceptos que relacionan distribuciones mediante observadores y a la inversa, como la igualdad salvo orientaciones entre dos distribuciones para un observador y la Omega-relación entre dos observadores. Se han obtenido propiedades relacionadas con estos conceptos y se han aplicado a la aberración de la luz: Dada una distribución nula Omega de dimensión ó codimensión 1, dos congruencias de observadores U y U están Omega-relacionadas si y sólo si no hay efectos de aberración entre los observadores de U y U al observar Omega. Trabajando siempre dentro de un entorno normal convexo, se ha extendido el concepto de causalidad, introduciendo la causalidad tangencial, que se interpreta como una causalidad observada. Se han obtenido múltiples propiedades relacionadas con la causalidad tangencial en general y, en concreto, aplicada a las subvariedades de horismos y de Landau: las subvariedades de horismos son siempre nulas y tangencialmente nulas; sin embargo, no podemos asegurar que las subvariedades de Landau sean siempre espaciales, aunque sí podemos asegurar que son siempre tangencialmente espaciales. Se han estudiado las condiciones de existencia de foliaciones de Landau espaciales (cuyas hojas son subvariedades de Landau espaciales) generadas por una línea de universo temporal beta. Como resultado se ha obtenido que para asegurar la existencia de estas foliaciones en algún entorno es necesario que el campo adaptado del tangente beta sea sincronizable en este entorno. Sin embargo, las foliaciones de horismos nulas (cuyas hojas son subvariedades de horismos) generadas por una línea de universo temporal siempre existen en los entornos normales convexos. Se ha estudiado un nuevo método para adaptar vectores mediante foliaciones en general. Este método sirve para extender un observador a toda una congruencia de observadores y hacer aplicables los resultados obtenidos en el Capítulo 1 a los observadores individuales. También nos permite definir el concepto de emisión puntual y estudiar su dirección propia y su frecuencia propia mediante la congruencia de observadores propia asociada, obteniéndose expresiones para la aberración de la luz y el efecto Doppler. Se ha generalizado la Ley de Movimiento (condición de totalmente geodésica) mediante el concepto de estabilidad entre distribuciones en general. Dada una distribución Omega, el Lema de Dualidad nos asegura que Omega y su ortogonal se comportan igual ante la estabilidad. Se han estudiado diferentes aspectos de la estabilidad (estabilidad regular, auto-estabilidad y auto-estabilidad regular), así como la relación entre la estabilidad y la estabilidad regular, en la que entra en juego la curvatura: dadas dos distribuciones Omega y Omega, si Omega es estable respecto a Omega, entonces Omega es regularmente estable respecto a Omega si y sólo si Omega es plana respecto a Omega. Este resultado ha generado diversos subcasos importantes: si Omega es de dimensión 1, o si estamos en un espacio-tiempo plano, entonces la estabilidad y la estabilidad regular son propiedades equivalentes. Este hecho tiene una especial relevancia, ya que estudiar la estabilidad regular es mucho más sencillo que estudiar la estabilidad. Además, se ha realizado un estudio de estabilidad entre subvariedades análogo al hecho para distribuciones. Por último, se han recopilado en un Apéndice diversos ejemplos de estabilidad entre distribuciones en diferentes espacio-tiempos. __________________________________________________________________________________________________ SUMMARY We have introduced a new formalism to study distributions in general, as well as its properties and its applicability to physics. The most remarkable results are the following ones: We have obtained in a natural way expressions for Doppler effect and light aberration in General Relativity, from the concept of basis associated to an observer. We have defined and studied new concepts as the equality between two distributions by an observer up to orientations and the Omega-relation between two observers. We have obtained properties related with these concepts and they have been applied to light aberration: Given a lightlike distribution Omega of dimension or codimension 1, two congruentes of observers U and U are Omega-related if and only if there are not any aberration effect between the observers of U and U while observing Omega. We have extended the causality concept, introducing the tangential causality, that can be interpreted as an observed causality. We have obtained properties of tangential causality in general and applied to horismos and Landau submanifolds: horismos submanifolds are always lightlike and tangentially lightlike; on the other hand, we can not assure that Landau submanifolds were always spacelike, but we can assure that they are always tangentially spacelike. We have studied conditions of existente of spacelike Landau foliations and lightlike horismos foliations. We have studied a new method to adapt vectors by means of foliations in general. This method is useful to extend an observer to a congruence of observers and make the results of Chapter 1 applicable to single observers. We have generalized the Movement Law by means of the concept of stability between distributions in general. Given any distribution Omega, the Duality Lemma assures us that Omega and its orthogonal distribution have the same stability properties. We have studied different aspects of stability (regular stability, self-stability and regular self-stability), and the relation between stability and regular stability. Finally, we have compiled in an Appendix some examples of stability between distributions in different space-times.