Aproximación y optimización de problemas no locales

Resumen

En esta tesis se analizan una clase de ecuaciones lineales elípticas y parabólicas desde una perspectiva no local. Para cada valor …jo del radio del horizonte de interacción no local, se formula el correspondiente modelo no local y se prueba la existencia y unicidad de solución. Además, del mismo modo que ocurre en el caso clásico, se obtiene una representación explícita de esta solución en forma de serie con los autovalores y las autofunciones del operador integral que de…ne la ecuación de estado. Al variar el parámetro que representa el radio del horizonte se obtiene una sucesión de soluciones no locales para la que se estudia su comportamiento asintótico. Se prueba que esta sucesión, cuando el radio del horizonte tiende a cero, converge a la solución del correspondiente problema local. Este hecho justi…ca el interés del trabajo desde el punto de vista de la aproximación. El análisis no local se ha extendido a algunos problemas de optimización, a problemas de control o diseño óptimo que tienen a dichas ecuaciones elípticas o parabólicas no locales como ecuaciones de estado. Se ha considerado una amplia clase de funcionales de coste para la que demostramos que este tipo de problemas posee solución. En algunos casos concretos, y sólo cuando la ecuación de estado es una ecuación elíptica, se estudia el comportamiento asintótico de la sucesión de diseños óptimos cuando el radio del horizonte tiende a cero, y se prueba la convergencia a un diseño óptimo del problema local. En una primera fase se demuestra la convergencia para el problema del compliance. Después, se obtiene un resultado de G􀀀convergencia para la ecuación elíptica que permite a…rmar convergencia a la solución de problemas de control óptimo más generales. Los resultados anteriores permiten construir un método operacional capaz de aproximar las soluciones de una familia de ecuaciones elípticas y parabólicas, así como de algunos problemas de control óptimo que tienen a estas ecuaciones como ecuación de estado. La implementación de este método operacional en un programa de cálculo proporciona aproximaciones numéricas de las soluciones. En lo que se re…ere a las aproximaciones numéricas, el objetivo en este trabajo es comprobar la adecuación de los modelos no locales para obtener aproximaciones a la solución de los modelos locales correspondientes. Se toma, a modo de ejemplo, uno de los problemas de control óptimo para el que se ha demostrado la existencia de optimalidad, el ya mencionado problema del compliance. A continuación se construye un algoritmo de convergencia que conduce al óptimo no local, algoritmo que se ha implementado en MATLAB, y que se ha aplicado a problemas concretos extraídos de la bibliografía. De resultas, de los experimentos numéricos realizados, se puede concluir afi…rmando que tanto el modelo no local como el programa proporcionan una aproximación bastante precisa de las soluciones locales.