Análisis armónico y teoría cuántica de campos sobre el grupo conforme

Resumen

El objetivo fundamental del estudio que se realiza en esta tesis, es entender mejor la dinámica cuántica de partículas relativistas aceleradas y los fenómenos de radiación de vacío (efecto Fulling-Unruh-Davies) que subyacen en estos sistemas. Estos fenómenos de radiación de vacío bajo aceleraciones resultan estar íntimamente relacionados con la radiación de Hawking de agujeros negros y el fenómeno cosmológico de ``desplazamiento al rojo'' (o ley de Hubble) debido a la expansión del universo. Para ello se muestra cómo las transformaciones conformes específicas (cuadri-aceleraciones) dan cuenta de ambos fenómenos (parte espacial y parte temporal, respectivamente) de una forma que no ha sido analizada hasta la fecha. La explicación tradicional de estos fenómenos de radiación radica fundamentalmente en las llamadas transformaciones de Bogoliubov, las cuales encuentran una explicación natural en el marco teórico de los llamados``Estados Coherentes''. Para conseguir nuestros objetivos, hemos desarrollado primeramente toda una teoría matemática de Estados Coherentes (también llamados Wavelets en el contexto del Análisis Armónico Aplicado y Multirresolución) del grupo conforme en 1+3 dimensiones: SU(2,2) (localmente isomorfo a SO(4,2)). Para nosotros, el vacío cuántico, visto desde un sistema de referencia relativista acelerado, resulta ser un Estado Coherente del grupo conforme, el cual incorpora al grupo de Poincaré de la relatividad especial, junto con cambios de escala y transiciones a sistemas relativistas uniformemente acelerados. El vacío cuántico acelerado se asemeja a una colectividad estadística. Para obtener funciones de distribución, valores medios, etc, ha sido fundamental la demostración de una extensión uniparamétrica "lambda" (``escala conforme o dimensión de masa'') del Teorema Maestro de MacMahon (que a su vez generaliza la fórmula de Schwinger), un resultado fundamental en Combinatoria. Este teorema ha resultado ser una herramienta matemática muy útil para nuestros objetivos, proporcionando también una función generatriz de polinomios ortogonales relativistas holomorfos en 4 variables (espacio-temporales) en un dominio del espacio complejo de Minkowski compactificado. Una vez desarrollado el Análisis Armónico sobre el grupo conforme, se propone una teoría cuántica de partículas invariantes conforme sobre el espacio-tiempo de Minkowski como una cuantización de un Modelo Sigma No Lineal Invariante Gauge sobre SU(2,2). La cuantización de dicho modelo se lleva a cabo mediante una generalización del método de Dirac para la cuantización de sistemas singulares (invariantes gauge) o con ligaduras. También se propone una adaptación del Principio de Reciprocidad de Born a la relatividad conforme y se discute sobre la existencia o no de una aceleración máxima. Toda esta construcción matemática sirve como pilar sobre el que se asienta nuestra Teoría Cuántica de Campos Relativista Invariante Conforme, marco a su vez para el estudio del análisis cuántico de sistemas de referencia relativistas uniformemente acelerados.