On the mathematical properties of multi-loop scattering amplitudes through the loop-tree duality

Abstract

El asombroso desarrollo de los experimentos de física de altas energías, como el Gran Colisionador de Hadrones del CERN, ha permitido obtener datos de gran calidad. El interés por comprender estos datos ha dado lugar a la necesidad de aumentar la precisión de las predicciones teóricas correspondientes. En esta tesis se desarrolla desde sus fundamentos matemáticos un método enfocado en cálculos de alta precisión denominado Loop-Tree Duality (dualidad lazo-árbol). Presentamos una clasificación de los diagramas de Feynman con respecto a su topología más que en el número de loops, en donde todas las clases topológicas pueden tener un número arbitrario L de loops y que se distinguen en su topología o, equivalentemente, en la dependencia que tienen los momentos de las partículas virtuales con los momentos libres, y desarrollamos el marco matemático del algoritmo necesario para el cálculo de las amplitudes de scattering para un orden arbitrario en teoría perturbativa. Este algoritmo se basa en el teorema del residuo de Cauchy, transformando una integral sobre un espacio de Minkowski Ld-dimensional en otra sobre un espacio L(d ¿ 1)-dimensional. Con el uso de este método, encontramos la estructura causal de las familias topológicas más simples, así como fórmulas de factorización para clases topológicas de orden superior. Dadas las estructuras causales y las fórmulas de factorización, se espera obtener las estructuras causales de las clases topológicas de orden superior de forma iterativa por medio del formalismo Loop-Tree Duality. En el Capítulo 1 de este trabajo se presenta una breve introducción histórica de los desarrollos teóricos que se han dado para entender los constituyentes fundamentales de la materia de los que tenemos evidencia hasta el momento, comenzando con el descubrimiento del electrón en 1897 por Joseph John Thomson, continuando con el avance del conocimiento hacia la mecánica cuántica, pasando por los trabajos de Max Plank sobre la catástrofe ultravioleta, de Albert Einstein sobre la relatividad especial y el efecto fotoeléctrico, de Ernest Rutherford y su descubrimiento del núcleo atómico, de Louis de Broglie sobre la dualidad onda-partícula, de Erwin Schrödinger y su ecuación que modela a las ondas de de Broglie, de Oskar Klein y Walter Gordon sobre la versión relativista de la ecuación de Schrödinger para partículas con espín entero, de Paul Dirac con su versión relativista de la ecuación de Schrödinger para partículas con espín semientero, entre otros. En el Capítulo 2 se presenta el marco teórico necesario para comprender la parte de la teoría de la física de partículas que será necesaria para el desarrollo de este trabajo de tesis, mismo que lleva por nombre Teoría Cuántica de Campos. Se comienza con una pequeña descripción del Modelo Estándar de las partículas fundamentales y se hace mención que el desarrollo que se seguirá es el asociado con la invarianza ante grupos de simetría, misma que es una forma elegante de introducir los campos de norma. La primera Sección de este Capítulo continúa con el estudio de la densidad Lagrangiana de Klein-Gordon, estableciendo la ecuación de Klein-Gordon para una partícula libre, y se establece la densidad Lagrangiana para una partícula que obedece a la ecuación de Klein-Gordon ya sea neutra o cargada, presentando a su vez el propagador de Feynman para una partícula escalar, misma que precisa la definición del producto temporalmente ordenado de los campos de Klein-Gordon. Así mismo, se da una interpretación de este propagador. En la segunda Sección se prosigue con el estudio de la densidad Lagrangiana de Dirac, presentando la ecuación de Dirac y mostrando dicho Lagrangiano para una partícula que se describe por medio de esta ecuación. En este caso, se presenta la solución de la ecuación de Dirac para una partícula libre, que queda representado por una pareja ordenada de espinores. Se continúa con la definición del producto temporalmente ordenado de campos espinoriales y se presenta el propagador de Feynman para éstos. Se hace énfasis que los resultados obtenidos de esta forma son aplicables a partículas libres, y que las interacciones se habían estudiado por medio del conocido como acoplamiento mínimo, que se puede interpretar como un desplazamiento de las derivadas parciales aplicadas al campo espinorial. Más adelante en el Capítulo 2, Sección 2.3, se estudia la Electrodinámica Cuántica como una teoría cuántica de campos con densidad Lagrangiana invariante ante transformaciones del grupo unitario de dimensión 1. Se observa que al aplicarse una transformación de dicho grupo, aparecen de manera natural los campos vectoriales que se asociarán con el campo del fotón. Se encuentra la expresión para la derivada covariante y se muestra que, en efecto, una transformación unitaria aplicada al campo del fotón nos lleva naturalmente al acoplamiento mínimo. Se explica, además, que la invarianza de norma en la Electrodinámica Cuántica implica que el fotón no tiene masa. También se explica que el tensor electromagnético está dado como el conmutador de derivadas covariantes. Esta Sección continúa con el estudio de la quiralidad de los espinores de Dirac. Esto se realiza mediante el estudio de la representación de Weyl de los espinores de Dirac, se definen los proyectores quirales y se muestra la forma en la que estos espinores están acoplados por términos de masa, de manera tal que, si los espinores son no masivos, entonces sus componentes de quiralidad izquierda y derecha se desacoplan. En la Sección 2.4 se hace un estudio similar al realizado en la Sección 2.3, pero con teorías no Abelianas de norma, esto es, con teorías cuyas densidades Lagrangianas son invariantes ante transformaciones de los grupos especiales unitarios. En este caso se presentan los generadores de los grupos no Abelianos y se les asigna su álgebra de Lie. Se siguen las mismas ideas que en el caso del electromagnetismo llegando a que, en el caso de las teorías no Abelianas, se tienen presentes términos de interacción entre los bosones de norma. Para encontrar la evolución de dichos bosones, se sigue el desarrollo realizado por Faddev y Popov, que lleva a la presencia de términos en la densidad Lagrangiana que modelan objetos similares a partículas pero que no tienen una representación física llamadas ghosts, con los cuales se concluye la Sección con la densidad Lagrangiana de la Cromodinámica Cuántica, expresando la densidad Lagrangiana de esta teoría. En la Sección 2.5 se presenta el mecanismo de Higgs, uno de los mecanismos en los que, de manera espontánea, se rompe las simetría de una teoría, se presenta al bosón de Higgs, y se obtiene su masa como resultado de su interacción consigo mismo. De la misma forma, se presenta el enfoque de Glashow-Weinberg-Salam sobre la descripción de la teoría electrodébil, mismo que asume un rompimiento espontáneo de la simetría en la Electrodinámica Cuántica. En la Sección 2.6 se presentan los cálculos para algunos observables físicos. Se presenta la matriz S y las secciones eficaces. A su vez, se da una breve introducción a la aplicación de la teoría perturbativa en los cálculos de la teoría de los campos y a los diagramas de Feynman, en conjunto con su clasificación de acuerdo con las características topológicas de los mismos. Se continúa el Capítulo con una breve descripción de algunas consecuencias de la ecuación de Callan-Symanzik, de la que se obtiene lo que se conoce como el corrimiento de los acoplamientos (o running couplings en inglés). Esto tiene como consecuencia que las interacciones varíen su intensidad con la energía con la que las partículas interactuantes se encuentran. Más aún, se explica que en el caso de las teorías no Abelianas, como en el caso de la Cromodinámica Cuántica, se presentan los fenómenos conocidos como confinamiento y libertad asintótica. En el Capítulo 3 comienza la problematización de este trabajo, mostrando cómo la teoría estudiada en el Capítulo 2 puede llevar a infinitos en un espacio de 4 dimensiones, conocido como el mundo de Minkowski. En la Sección 3.1 se presenta la clasificación usual de las divergencias, ya sean divergencias ultravioleta (UV), que se muestran en los cálculos al sumar las contribuciones de partículas a las que se les permite tener una energía arbitrariamente alta (durante el estudio de este tipo de divergencias se presenta el concepto de grado superficial de divergencia, que nos da una idea de la presencia de las divergencias UV a nivel del integrando o del diagrama de Feynman), o divergencias infrarrojas (IR), que son aquellas que ocurren a bajas energías, y que a su vez se dividen en divergencias de tipo soft, que son aquellas que aparecen cuando se permite la emisión de partículas de baja energía, y en divergencias de tipo colineal, que se presentan cuando se irradia una partícula en dirección paralela a la partícula radiante. También se hace mención de las divergencias de threshold, mismas que, a diferencia de las anteriores, tienen un significado físico y son integrables. En la Sección 3.2 se muestra un método conocido como regularización dimensional, usado comúnmente para el cálculo de observables físicos y se muestran algunos ejemplos de su uso. En estos mismos ejemplos se observa la forma en la que se logran aislar las divergencias en términos que dependen de un parámetro asociado a la dimensión del espacio donde se integra. En la Sección 3.3 se presenta una breve reseña del algoritmo conocido como renormalización, con el que se trabajan las divergencias ultravioleta. En la Sección 3.4 se presenta el teorema óptico y se muestra la forma en la que las divergencias de threshold son integrables, llevando a cantidades finitas si se suman todas sus contribuciones. A su vez, se presentan las reglas de corte de Cutkosky, que forman un algoritmo para sumar dichas contribuciones. Se hace, también, una distinción geométrica de las divergencias causales y las divergencias no causales, que nos será de utilidad. Así pues, el objetivo general de este trabajo de tesis es el análisis de las cancelaciones de las divergencias no causales que se presentan en las Teorías Cuánticas de los Campos, teniendo como objetivos específicos encontrar un algoritmo de aplicación de la Loop-Tree Duality que generalice los trabajos realizados sobre esta metodología, encontrar una clasificación complementaria de los diagramas de Feynman que se ajuste mejor a la caracterización de las cancelaciones de las divergencias no causales, obtener fórmulas de factorización que permitan relacionar las diferentes clases de la clasificación encontrada en el objetivo específico anterior, y por último, encontrar las expresiones causales obtenidas después de la cancelación de las divergencias no causales mediante el análisis estricto de los integrandos que se obtienen al aplicar la metodología de la Loop-Tree Duality. La Loop-Tree Duality es un marco matemático que se utiliza en el estudio de las amplitudes de dispersión. En el Capítulo 4 se presenta el marco metodológico que se utiliza en el resto del presente trabajo de tesis. Siendo uno de los objetivos específicos el encontrar un algoritmo de aplicación de la Loop-Tree Duality de manera generalizada, en este Capítulo comienza la presentación de los resultados. Así, en la Sección 4.1 se estudia la Loop-Tree Duality desde sus cimientos matemáticos, que constan básicamente del teorema de residuos de Cauchy; sin embargo, por convención, las integraciones sobre el eje real en el plano complejo se realizan con ayuda de un contorno de integración que siempre se cierre rodeando el semiplano inferior, imponiendo la condición de tener un número de winding siempre igual a la unidad negativa. La Sección continúa con el estudio de la Loop-Tree Duality a un loop. Con este propósito, se considera una notación que no vuelva pesada la lectura de este trabajo. Debido a que la Loop-Tree Duality lleva consigo una integración en el plano complejo sobre un contorno que encierra el semiplano inferior, es necesario tener en cuenta que sólo contribuyen los polos del integrando que tengan parte imaginaria negativa, de tal manera que si se integra la componente de energía, se estarían seleccionando las partículas cuya energía tiene parte real positiva. Luego, la integración se lleva a cabo para integrandos con polos simples y se deja expresado el resultado para un diagrama con un número arbitrario de partículas internas. Se hace una interpretación del resultado en términos de la teoría de grafos, de tal suerte que la aplicación de la Loop-Tree Duality a 1 loop se puede entender como el estudio de un diagrama con 1 ciclo mediante el estudio de sus árboles generadores. Se continúa la Sección con una explicación sobre la suficiencia del caso de polos simples, incluso para el caso de tener integrandos con polos de orden superior, ya que éstos últimos se pueden entender como derivadas con respecto a un parámetro de los integrandos con polos simples. Luego, para terminar el estudio de la Loop-Tree Duality a 1 loop se estudia de manera explícita el diagrama conocido como diagrama de burbuja, que es un caso especial de diagramas de Feynman con 1 loop. Al hacer el estudio específico se observa cómo se llega a una expresión en la que la ausencia de divergencias no causales es evidente. La Sección continúa con el estudio de la Loop-Tree Duality para diagramas de Feynman con 2 loops. Se comienza este estudio con una extensión en la notación usada anteriormente, que permita el uso para más de 1 loop, y se hace énfasis que se puede utilizar lo obtenido para 1 loop si se integra loop por loop del diagrama de 2 loops. Para concretar ideas, se utiliza el diagrama conocido como diagrama sunrise, y se realizan las integrales en las componentes de energía de los loops siguiendo de cerca los polos con parte imaginaria negativa, lo cual lleva al concepto de polos desplazados, que son aquellos que tienen una energía cuya parte imaginaria no tiene un signo constante, sino que depende de la configuración del 3-momento del loop. Se hace el cálculo directo para hacer notar que las contribuciones a la integral de los polos desplazados se cancelan dos a dos. Después del estudio minucioso de los polos con parte imaginaria negativa, se llega a una expresión para el diagrama sunrise en la que evidentemente las divergencias no causales están ausentes. Más aún, el integrando de la representación causal para el diagrama de burbuja y el integrando de la misma representación para el diagrama sunrise tienen la misma forma, por lo que estos resultados nos dan una idea de la clasificación de los diagramas de Feynman que buscamos para el siguiente objetivo específico. Esta Sección continúa con la clasificación topológica de los diagramas de Feynman. Esta clasificación es la que se buscaba en los objetivos específicos. Para poder realizar un estudio a fondo y detallado de esta clasificación, es necesario extender aún más la notación, por lo que se prosigue con esta extensión, de tal forma que se definen funciones cuyos argumentos son índices y que obedecen a la convención de barras, definida en esta Sección. Así, la notación es extendida de tal forma que los argumentos pueden contener subíndices, barras, y puede ser usada para representar el cálculo de las integrales en la componente de energía por medio del uso del teorema de residuos de Cauchy. Continuando con esta notación de índices, se muestra que, debido a la idempotencia de la convención de barras, es posible desarrollar aritmética con estos índices, y se desarrolla paso a paso el cálculo de la integral en las componentes de energía de los loops en el diagrama escalar sunrise utilizando esta notación, mostrando que los propagadores de Feynman tienen dos de tres tipos de polos: polos con parte imaginaria negativa, polos con parte imaginaria positiva, o polos desplazados. Se encuentra una forma sencilla de encontrar los polos con parte imaginaria positiva, y a su vez se pueden encontrar los polos desplazados, de tal suerte que los polos cuyas contribuciones no se cancelan en una primera instancia (como en el caso de los otros dos tipos de polo), que son los polos con parte imaginaria negativa, se encuentran de manera sencilla y por simple inspección. Siguiendo con la explicación del manejo de la notación de índices, se muestra que el desarrollo del cálculo de residuos mediante el aprovechamiento de esta notación se vuelve sencillo, pues el resultado se puede obtener siguiendo la posición de los índices y su configuración de barras. Una vez terminada la explicación del uso de esta notación, se prosigue a definir la complejidad topológica de un diagrama de Feynman, definida como el antecesor del número de vértices del multigrafo subyacente de dicho diagrama de Feynman. Definida la complejidad topológica de un diagrama de Feynman, encontramos la clasificación que se estaba buscando. Esta clasificación comienza con la clase topológica llamada Maximal-Loop-Topology (MLT), definida como la clase de diagramas de Feynman que tienen complejidad topológica igual a 1. A partir de la presentación de esta clase topológica, se muestra el resultado del cálculo que la Loop-Tree Duality nos arroja, llegando a una expresión que representa la contribución de todos los subdiagramas de tipo árbol que se obtienen de un diagrama de dicha clase topológica, misma que lleva a la representación causal. Se hace notar que esta representación causal coincide con la obtenida para el diagrama de burbuja y para el diagrama sunrise, siendo éstos los diagramas más simples de esta clase topológica. Se prosigue con la siguiente clase topológica, llamada Next-to-Maximal-Loop-Topology (NMLT), definida como la clase de diagramas de Feynman con complejidad topológica igual a 2. Al aplicar la Loop-Tree Duality a esta clase topológica se obtiene una expresión matemática que se puede expresar en términos de convoluciones. Esta expresión es la fórmula de factorización que se buscaba en los objetivos específicos, ya que nos permite expresar el integrando de un diagrama NMLT en términos de convoluciones de diagramas MLT. Se continúa con este estudio dando una interpretación geométrica de esta fórmula de factorización. Estas fórmula lleva consigo una función, llamada propagador auxiliar, que se obtiene como resultado de tener un conjunto de líneas internas ya sea todas on-shell o todas off-shell. Se continúa el estudio de las clases topológicas con la clase Next-to-Next-To-Maximal-Loop-Topology (N2MLT), definida como la clase de diagramas de Feynman con complejidad topológica igual a 3. De nueva cuenta, se aplica la Loop-Tree Duality y se obtiene una expresión que puede ser escrita en términos de convoluciones, definidas en el mismo texto, y que tienen una representación diagramática que se describe a continuación. Esta expresión muestra que el integrando de un diagrama N2MLT puede ser escrito como convoluciones de diagramas MLT o NMLT, siendo así esta expresión la fórmula de factorización buscada para esta clase topológica. Para finalizar este Capítulo se hace notar que, utilizando esta metodología, se puede obtener una fórmula de factorización para cualquier complejidad topológica k, esto es, para cualquier clase topológica Nk ¿ 1MLT (donde la clase MLT implica que la complejidad topológica k es 1). En el Capítulo 5 se estudian las propiedades matemáticas del algoritmo que se ha seguido en el Capítulo 4, comenzando por la definición formal del funtor llamado residuos iterados. Con esta definición evitamos cualquier ambigüedad en los cálculos. Inmediatamente después se muestra que para cálculos de residuos iterados para productos de propagadores, las contribuciones de los polos desplazados se cancelan. Esto se expresa posteriormente para el caso general de una función con polos de orden superior. Se continúa con una interpretación geométrica de lo que ocurre con los residuos iterados, de tal forma que al calcular el primer residuo iterado, se obtienen dos términos cuyas estructuras de polos están relacionadas, de tal forma que al calcular el siguiente residuo iterado, la contribución de un polo desplazado en uno de los términos cancela la contribución del mismo polo en el otro término. Se procede definiendo un algoritmo similar a los residuos iterados, llamado residuos anidados, que realiza los cálculos de los residuos iterados únicamente para los polos con parte imaginaria negativa, debido a que los demás polos, ya sean con parte imaginaria positiva o polos desplazados, no contribuyen a los residuos iterados. Se hace notar que la expresión obtenida inmediatamente después de aplicar los residuos anidados depende explícitamente del orden en el que se calculan los residuos, o equivalentemente, del orden en que se realizan las integraciones de las componentes de energía de los loops. No obstante, para un diagrama MLT, se hace el cálculo de forma explícita para encontrar su representación causal, mostrando que las cancelaciones de las divergencias no causales se dan al separar los residuos obtenidos en fracciones parciales, y se muestra que, independientemente del orden de integración, la representación causal es la misma. A continuación se muestra que si se realiza un cálculo análogo para una subcolección de términos, se obtiene una expresión que tiene la estructura de un propagador, a esta expresión es a la que se le define como propagador auxiliar. Se muestra que este propagador auxiliar da una idea de que las clases topológicas tienen un diagrama con el mínimo número posible de loops. Esto se explica a continuación, utilizando el propagador auxiliar para representar todos los propagadores que conectan dos vértices adyacentes. Al finalizar la Sección 5.1 se hace notar que esta simplificación es válido para diagramas escalares, y que al aparecer un numerador polinomial, de manera general no es posible reducir una inserción MLT a un único propagador. En la Sección 5.2 se realiza un análisis del álgebra que siguen los residuos iterados y cómo se relaciona con la aplicación de la Loop-Tree Duality para polos de orden superior. Así, se muestra que una derivación con respecto al cuadrado del polo aumenta el orden del polo, y se encuentra una función que manda un integrando de Feynman escalar arbitrario al integrando asociado con polos simples, así como la función que manda el resultado de tomar los residuos anidados de esta función con polos simples al resultado de tomar los residuos anidados de la función original con polos de orden superior. De esta manera se muestra la suficiencia de estudiar solamente integrandos con polos simples. Se da como ejemplo el caso del diagrama escalar sunrise con un polo doble. En el Capítulo 6 se estudia la reconstrucción analítica de las representaciones causales de las clases topológicas NMLT y N2MLT. En la Sección 6.1 se da una breve explicación del algoritmo a seguir para esta reconstrucción basado en los campos finitos (entendiendo la palabra campos como la estructura algebráica) y en congruencias. En la Sección 6.2 se muestra el resultado de aplicar este algoritmo al diagrama escalar sunrise a modo de verificación, obteniendo la misma estructura causal que en el Capítulo 5. Además, se contrasta el resultado de los residuos anidados con la representación causal, mostrando que esta última es más estable debido a que los residuos anidados aún contienen las divergencias no causales. Se continúa con las estructuras causales obtenidas para la clase topológica MLT, así como para los diagramas de vacío de las clases topológicas NMLT y N2MLT. Se define lo que conocemos como los thresholds causales entrelazados, que diagramáticamente son aquellas cuyos flujos de momento quedan alineados, y se hace notar que las contribuciones a la representación causal de estas clases topológicas sólo pueden contener thresholds causales entrelazados. La Sección concluye con las representaciones causales para las clases topológicas NMLT y N2MLT con partículas externas. En la Sección 6.3 se hace énfasis en los resultados obtenidos para polos de orden superior y en la Sección 6.4 se muestran los resultados de las evaluaciones numéricas para las clases topológicas MLT, NMLT y N2MLT con 3 y 4 loops. Estas evaluaciones numéricas se realizaron para integrales en 2, 3 y 4 dimensiones, con coordenadas esféricas, mostrando gran similitud con los resultados analíticos obtenidos en la Sección 6.2. En la Sección 6.5 se hace notar que los thresholds causales entrelazados que aparecen en las representaciones causales de las clases topológicas cumplen tres propiedades: 1) en un mismo término, todas las energías on-shell de las partículas del diagrama aparecen, 2) los threshold causales, al representarse como cortes del diagrama, no se intersectan y 3) los flujos de momento de las líneas internas del diagrama asociados a diferentes thresholds causales son compatibles. Al finalizar el Capítulo, se hace mención que esto último puede interpretarse como una conexión entre el análisis complejo y la teoría de grafos. En el Capítulo 7 se da un resumen de este trabajo de tesis. Como conclusiones tenemos que en el estudio de la Teoría Cuántica de Campos donde aplique la teoría perturbativa, la aplicación de la Loop-Tree Duality nos asegura que las divergencias no causales se can- celan, obteniendo resultados que únicamente contienen divergencias causales. Finalmente, presentamos un breve resumen de este trabajo con conclusiones, dando paso a sus Apéndices.