Boundedness and compactness of operators related to time-frequency analysis

Abstract

En esta tesis, estudiamos diferentes aspectos de los operadores relacionados con el análisis tiempo-frecuencia. Cada operador lineal y continuo de la clase de Schwartz en su dual, el espacio de distribuciones temperadas, se puede escribir como un operador integral con núcleo K, o también como un operador integral de Fourier (de hecho, pseudodiferencial). Las diferentes condiciones en el núcleo o el símbolo y la fase (en el caso de los operadores integrales de Fourier) permiten extender el operador a varios espacios de funciones y distribuciones. A continuación detallamos los contenidos de la memoria. En el primer capítulo presentamos la notación, las definiciones de algunos espacios, de sucesiones, funciones y distribuciones, como los espacios de modulación, espacios de Wiener, y los resultados preliminares, sobre por ejemplo frames de Gabor, que se utilizarán a lo largo de la tesis. El segundo capítulo está dedicado al estudio de los multiplicadores incondicionalmente convergentes. El resultado principal, una mejora del teorema de Orlicz, muestra que cada sucesión sumable incondicionalmente en un espacio de Hilbert puede factorizarse como el producto de una sucesión escalar de cuadrado sumable y una sucesión de Bessel del espacio de Hilbert. Con esto se obtienen algunas consecuencias sobre la representación de multiplicadores incondicionalmente convergentes utilizando multiplicadores de Bessel, un problema que introdujeron Balaz y Stoeva en 2013. El objetivo del tercer capítulo es investigar la compacidad de los operadores integrales de Fourier cuando actúan en espacios de modulación ponderados con pesos polinomiales, utilizando la representación matricial de los operadores integrales de Fourier con respecto a un frame de Gabor. Como consecuencia, recuperamos y mejoramos algunos resultados conocidos sobre la compacidad de los operadores pseudodiferenciales. También estudiamos las condiciones necesarias para extender la definición de estos operadores integrales de Fourier a espacios de modulación ponderados con pesos GRS, también a través de su representación matricial con respecto a un frame de Gabor. En el cuarto capítulo estudiamos las condiciones para la acotación de los operadores integrales de Fourier con una singularidad de tipo Hölder en la fase, cuando actúan en espacios de Lebesgue. Demostramos la acotación en L1 con una pérdida precisa del decaimiento en función del exponente de Hölder, y mostramos que se produce una pérdida incluso en el caso de fases suaves. Después abordamos la continuidad en L2, aportando un relevante contraejemplo para las condiciones impuestas en el caso L1, pero proporcionando condiciones suficientes para dicha continuidad. En el último capítulo estudiamos resultados sobre continuidad de multiplicadores unimodulares de Fourier. En ellos se presentan condiciones sobre la fase que representan que la fase no crece en el infinito y tiene oscilaciones moderadas o si crece en el infinito pero sigue oscilando de manera moderada. Encontramos algunos resultados suponiendo que las segundas derivadas de la fase están acotadas o, más generalmente, que sus segundas derivadas pertenecen a un espacio de Wiener particular, permitiendo que sus segundas derivadas tengan fuertes oscilaciones en el infinito. Y otros resultados suponiendo que sus segundas derivadas multiplicadas por un cierto factor pertenecen a un espacio de Wiener particular, permitiendo que sus segundas derivadas crezcan en el infinito y tengan fuertes oscilaciones.